Inleiding

In dit artikel:

• Is $50 beter dan $1.000?
• Hoe groot zou de bankroll van een beginner moeten zijn?

Ieder nieuw lid van PokerStrategy.com heeft gratis een startkapitaal van $50 gekregen bij een van de partner-pokerrooms van PokerStrategy.com. Dit heet niet voor niets $50 startkapitaal en niet gewoon “gratis bankroll” of “no deposit bonus”, zoals vaak gebruikelijk is.

Het geld is voor veel leden de basis van hun pokercarrière geweest. Het is echter natuurlijk de vraag of de $50 werkelijk genoeg is en of het voor een ambitieuze speler niet beter zou zijn om een grotere bedrag uit eigen zak in te zetten voor de start van zijn pokercarrière.

Dit artikel onderzoekt deze vraag en probeert het verschil te tonen tussen een speler die met $50 begint en een speler die met $1.000 start. Heeft de speler met de grotere startbankroll werkelijk een voordeel?

De resultaten van dit onderzoek gelden voor ieder speltype, ook al is in het artikel de No-Limit Hold’em bigstackstrategie als voorbeeld gebruikt.

De aanpak

Het absolute monetaire succes van een pokerspeler hangt in beginsel af van twee factoren:

Zijn vaardigheid: Hoe goed speelt hij? Hoe groot is zijn edge op zijn tegenstanders op een bepaalde limiet? Dit begrip moet algemeen worden gezien en omvat ook dingen zoals tafelselectie en psychologische aspecten van het zelfmanagement.

Van de gespeelde limiet: Welke limieten kan hij spelen? Hoe hoger hij speelt, des te hoger zijn ook zijn winrate en natuurlijk de absolute winsten, voorzover zijn winrate positief is.

Om de verschillen tussen spelers met verschillende startbankroll te vinden worden in het volgende gedeelte vier verschillende types speler voorgesteld. Er worden inschattingen gedaan over de ontwikkeling van hun vaardigheden, de gespeelde limieten en hun bankrollmanagement.

Deze spelersmodellen zullen vervolgens een gesimuleerde pokercarrière doorlopend, waarna we kijken hoe ze in vergelijking met elkaar hebben gepresteerd.

Instellingen voor de simulatie

Laten we aannemen dat er vier verschillende spelers zijn: A, B, C en D.

• speler A start met $50 en is dus een typische PokerStrateeg.
• Spelers B, C en D starten steeds met $1.000.

Alle vier de spelers hebben dezelfde voorkennis met betrekking tot pokerstrategie en beginnen op het level van een typische beginner de zich met de basisstrategie vertrouwd heeft gemaakt.

Inschattingen van de ontwikkeling van de vaardigheden en de limieten

Om een simulatie te kunnen uitvoeren wordt aan de pokervaardigheid van iedere speler een waarde toegewezen. Deze groeit met de tijd en wel voor alle vier spelers hetzelfde. Het verloop van de vaardigheid moet door een quadratische wortelfunctie worden aangegeven en gaat dus eerst sterk omhoog en vlakt dan in het verdere verloop meer en meer af.

Bovendien wordt ervan uitgegaan dat voor elke limiet een bepaalde vaardigheid noodzakelijk is om break even te spelen (break even = +-0, geen winst en geen verlies). Is de vaardigheid van een speler kleiner dan deze waarde dan maakt hij verlies. Is de vaardigheid van de speler groter dan maakt hij winst. De winst hangt dus aan de ene kant af van de individuele vaardigheden en aan de andere kant van de limiet (door grotere of kleinere inzetten). Voor deze concrete benadering worden de limieten NL2, NL5, NL10, NL25, NL50 en NL100 gebruikt.

Samen met de vaardigheidscurve kom je op de volgende voorstelling:

Vaardigheidsfunctie: Aangenomen geïdealiseerde groei van de vaardigheden met de tijd   y-as: Skill x-as: Tijd

Parallel aan de x-as zijn de benodigde vaardigheidswaardes voor het verslaan van de betreffende limieten in stijgende volgorde weergegeven.

Aannames voor het bankrollmanagement

Speler A en B zullen volgens een 20-stack bankrollmanagement spelen. Ze spelen altijd de hoogste limiet waarvoor ze een bankroll van 20 stacks ter beschikking hebben. Hebben ze minder dan 20 stacks ter beschikking, dan zakken ze een limiet terug.

Speler C en D zijn meer hypothetische spelers. Speler C speelt altijd de hoogste limiet waarop zijn winrate positief is. speler D speelt altijd de limiet waarop zijn winrate in $ het hoogste is.

Samengevat krijg je dan:

Geen variance

Ook al vormen tijdelijke schommelingen natuurlijk een deel van het pokerpel, is de variance voor het beantwoorden van de vraagstelling van dit artikel buiten beschouwing gelaten.

Hoe de simulatie werkt

Dit gedeelte is meer gericht aan geïnteresseerden, die in detail willen weten hoe het werkt. De simulatie kun je op meerdere manieren realiseren, maar hier werd de volgende aanpak gebruikt:

Als vaardigheidsfunctie werd aangenomen: skill(t) = t^(0.55)

Deze functie beschrijft de groei van de pokervaardigheid van een speler. Er werd niet gekozen voor de exacte wortelfunctie om het doorsnijden van de break-even-waardes van de verschillende limieten geloofwaardiger vorm te geven.

Als alternatief zouden ook de afzonderlijke waardes kunnen worden gevarieerd. Een verandering op dit punt heeft een erg kleine invloed op het resultaat.

Voor de break-even-vaardigheid van de verschillende limieten werd dit toegepast:

Deze waardes moet een speler als vaardigheid bereiken om noch winst, noch verlies te maken. Komt hij daaronder dan lijdt hij verlies. Komt hij daarboven dan maakt hij winst.

Voor de simulatie is een functie nodig die voor een bepaalde waarde de bankroll geeft van de gespeelde limiet. Juist hier verschillen speler A en B van speler C en D.

Nu wordt iteratief de bankroll in stappen berekend. Dit werkt met een stapbreedte van 1, dus:

roll(0) = startbankroll
roll(t+1) = roll(t) + limiet( roll(t) ) * ( skill(t) - skill2( limiet( roll(t) ) ) )

limiet( roll(t) ) komt per spelertype voort uit de vraag of de speler een winnende speler is, of via de 20-stacks-regel.

skill2(limit) volgt de waarde die voor een break-even-spel nodig is. In iedere tijdstap wordt de bankroll dus verhoogd met de winrate (skill(t)-skill2(limiet)), vermenigvuldigd met de gespeelde limiet. Hetzelfde principe als bij poker.

Je kunt deze berekening natuurlijk quasi-continu maken door zowel een kleine tijdsstap en een groot aantal stappen gebruikt. Dit heeft echter een ongewenst en weinig realistisch effect.

Laten we aannemen dat een speler qua skill en bankroll tussen twee limieten in staat. Bereikt deze speler de bankroll voor de hogere limiet, dan moet hij meteen weer omlaag omdat hij een klein bedrag verliest. Daarna gaat hij meteen weer omhoog omdat hij een klein bedrag wint. Bij een hoger aantal rekenstappen kom je dus op een lijn die voor een break-even-spel op de hogere limiet nodig is tot de speler de hogere limiet verslaat. Curves van deze soort geven een weinig realistisch beeld, Daarom werd gekozen voor een grotere stapgrootte. Deze staat kleine stappen toe in de hogere of lagere limiet, tot de hogere limiet wordt verslagen.

Nu zijn alle noodzakelijke functies uitgelegd. Met hulp van iteratie kun je voor verschillende startbankrolls, stapbreedte en stap-aantal een tupel van getallen maken en die grafisch weergeven.

De absolute resultaten

Laten we dus de vier gevormde types speler een tijdje laten pokeren, volgens hun skillfunctie hun pokervaardigheden uitbouwen en volgens hun bankrollmanagement in de limieten laten klimmen. Hoe ziet na een bepaalde tijd hun bankroll er uit?

Ten eerste de groei van de bankroll voor speler A, die met $50 is begonnen.

Bankroll speler A   y-as: Bankroll in $ x-as: Tijd

Het beeld is zo, of vergelijkbaar, te verwachten zolang er geen variance wordt meegerekend. De winst per tijdseenheid, de stijging van de curve, gaat aan de ene kant omhoog op grond van de groter wordende skills en aan de andere kant op basis van de hogere gespeelde limieten. Dus groeit de stijging zelf in de loop der tijd steeds verder. Deze simulatie hebben we gemaakt ter vergelijking tussen de spelers, dus laten we nu naar het resultaat van speler B kijken.

Bankroll speler B   y-as: Bankroll in $ x-as: Tijd

Zoals aan de hand van de skillcurve te verwachten was verliest de speler vooral een deel van zijn geld omdat hij op een limiet instapt die zijn actuele pokervaardigheid overstijgt.

Terwijl speler A slechts korte tijd loosing player is en vanaf het punt waarop hij NL2 verslaat vanzelfsprekend altijd winning player is, wordt speler B eerst van NL50 tot op NL25 omlaag getrokken tot zijn skill in zoverre gegroeid is dat hij de limiet verslaat.

Pas vanaf dit punt wint ook speler B geld. Daarna laat zijn curve een vergelijkbare karakterisitek zien als die van speler A. Dit is gewoon logisch, daar beiden dezelfde skill en ook hetzelfde bankrollmanagement toepassen.

Verder is er nog spelerstype C. Hij speelt altijd op de hoogste limiet die hij verslaat (anders op de kleinste beschikbare). Zijn grafiek ziet er zo uit:

Bankroll speler C   y-as: Bankroll in $ x-as: Tijd

In tegenstelling tot speler B verliest hij geen grotere bedragen, maar hij is ook niet in staat om een beduidend beter eindresultaat te krijgen. Ook zie je een duidelijke fout die deze speler begaat: Zijn winrate bedraagt steeds een tijdje bij benadering 0 omdat hij omhoog gaat zodra hij break-even speelt. Hij heeft nog tijd nodig om zich op de hogere limiet ook een edge en daarmee winst te verwerven.

Tenslotte nog de goede laatste: optimale speler D. Hij gebruikt altijd tijd de hoogste aanwezige winrate en zal dus ook beter dan elke van zijn tegenstanders presteren. De vraag is: Hoe goed presteert hij? Het antwoord:

Bankroll speler D   y-as: Bankroll in $ x-as: Tijd

De curve heeft duidelijk minder knikken. Zijn klim in de limieten heeft nooit een sterke verandering van de winrate tot gevolg omdat hij tenslotte op het optimale punt omhoog gaat. Zijn resultaat ligt duidelijk boven dat van de andere spelers.

Interessant wordt nu vooral de vergelijking van spelerstype B, C en D met veel startkapitaal en speler A met $50 als startkapitaal.

Vergelijking de resultaten

Daar de spelers steeds een verschillend startkapitaal ter beschikking hadden moet een benadering voor de gesimuleerde tijdspanne van de betreffende verschillen in de bankrolls, uitsluitsel geven over de financiële successen van de spelers. Dus hoeveel meer geld heeft een speler tot een bepaald moment in zijn pokercarrière, vergeleken met een andere speler?

Speler A tegen de speler B

Laten we eerst speler A en B vergelijken. Speler A startte met $50 terwijl speler B met $1.000 begon. Beiden hadden hetzelfde bankrollmanagement van 20 stacks.

In de grafiek is voor ieder moment de bankroll van speler A van die van speler B afgetrokken. De grafiek start dus bij een waarde van $950 ($1000 - $50).

Verschil in bankroll van speler A en speler B   y-as: Verschil in bankroll van speler A en speler B in $ x-as: Tijd

Omdat speler B in het begin op de hoge startlimet veel geld verliest komen beide waardes snel dichter bij elkaar, tot het verschil nog maar ongeveer $300 bedraagt. Pas wanneer speler B zijn vaardigheid in zoverre kan laten stijgen dat hij winst maakt groeit het verschil weer, op grond van de altijd nog grotere financiële voordeel die hij door het spel op een hogere limiet heeft.

Het verschil van beide bankrolls blijft tenslotte rond de $700 op een ‘vaste’ waarde hangen. In dit eenvoudige model zal deze waarde zo blijven, omdat beide spelers nu de maximaal aanwezige limiet met dezelfde winrate per tijd spelen.

Even onthouden: Speler B, die aan het begin van de carrière $950 voorsprong op speler A had, was niet in staat om hieruit voordeel te trekken. Integendeel! Had hij slechts met $50 van zijn $1.000 gespeeld, dan zou hij in vergelijking met de start zelfs ongeveer $150 meer hebben. De reden daarvoor ligt natuurlijk in het spelen op de te hoge limieten, waardoor hij aan het begin heel veel verliest.

Speler A tegen speler C

Nu vergelijken we speler C met speler A. Spelerstype C was weliswaar meer theoretisch ingesteld, maar hij vermijdt het tenminste om grotere bedragen te verliezen.

Hier zijn duidelijk minder schommelingen te herkennen dan in de eerste vergelijking. Na iets meer dan de helft van de tijd heeft speler C een voordeel omdat speler A NL25 al zou verslaan, maar het op basis van de te kleine bankroll nog niet kan spelen.

Wanneer speler A omhoog gaat wordt het voordeel weer gerelativeerd. Aan het einde ligt het verschil nog bij ongeveer $900. Dus heeft ook hier speler A beter gepresteerd, hoewel hij slechts met $50 en dus $950 minder is begonnen.

Verschil tussen de bankrolls van speler A en speler C   y-as: Verschil tussen de bankrolls van speler A en C in $ x-as: Tijd

Speler A tegen speler D

Als goede laatste nog de vergelijking met de optimale speler D, die met $1.000 is begonnen en altijd de limiet speelt waarop hij de hoogste absolute winst binnenhaalt. Hier ziet het verschil er zo uit:

Verschil tussen de bankrolls van speler A en speler D   y-as: Verschil tussen de bankrolls van speler A en D in $ x-as: Tijd

Speler D is in de gelegenheid om zich in de loop van de tijd op te werken naar een voordeel van ruim $1.500, wat ten opzichte van de startsituatie overeenkomt met een winst van $550. Speler D gebruikt het voordeel dat hij door zijn grotere startbankroll naar een hogere limiet kan gaan zodra hij daarvoor de noodzakelijke vaardigheid heeft. Speler A moet daarentegen eerst de bankroll daarvoor bij elkaar spelen op de lagere limiet.

Betekent dit nu dus dat de optimale start van een pokercarrière ligt in het betalen van $1.000 uit de eigen zak?

Discussie over de resultaten

Hier moeten we nog een aantal factoren bekijken. Aan de ene kant gedragen speler B en C zich op hun manier “dom”. Speler B neemt door zijn slecht bankrollmanagement op de koop toe dat hij grote delen van zijn geld verliest, in plaats van voor dat moment een limiet terug te gaan.

Speler C geeft bij iedere klim in een limiet waarop hij een breakeven speler is, een deel van zijn winrate in $ op. Dit herken je goed aan het feit dat in het verloop van zijn bankroll veel plaatsen met een stijging van 0 (parallel aan de tijd-as) aanwezig zijn. Had hij op de lagere limiet verdergespeeld, dan zou hij vanzelfsprekend meer hebben gewonnen.

Beide spelers, zowel de bij benadering realistische speler B en de theoretische speler C, presteren ondanks het grotere startkapitaal slechter dan de speler die met $50 begint. Alleen de optimale speler D is in de loop van de tijd in staat om zijn grotere startbankroll tot een voordeel te maken. Hier is er dus sprake van een duidelijk voordeel, maar aan het einde van de simulatie bedraagt dit nog maar ongeveer 20% van de bankroll van speler A.

Uit de discussie kun je concluderen dat onder de gemaakte aannames voor een beginner geen voordeel in een start met een hoger kapitaal ligt. Alleen wanneer hij in staat zou zijn om zijn winrate in $ op verschillende limieten perfect in te schatten zou hij een klein voordeel van 20% bewerkstelligen als hij een startkapitaal gebruikt dat 2000% hoger ligt.

Dit ligt er simpelweg aan dat een speler met een kleiner startkapitaal maar zelden een hogere winrate zou halen op een limiet waarvoor zijn bankroll nog niet hoog genoeg is, dan op de limiet die hij met zijn bankroll kan spelen.

Het systeem reguleert zich zelf behoorlijk optimaal. Een in dit model niet mee te nemen voordeel heeft de grotere startbankroll echter wel: Hij zou in staat zijn om swings te vereffenen. Een speler met een hoger startkapitaal zou er het beste aan doen om toch op de kleinste limieten te beginnen en na een bepaalde tijd en eigen oordeel omhoog te gaan.

Daardoor zou de invloed van de variance op de bankroll van de spelers die met $50 beginnen kunnen worden gladgestreken. Deze speler zou, wanneer hij in staat is om zijn eigen vaardigheden relatief neutraal in te schatten, een echt voordeel uit zijn hogere startkapitaal kunnen trekken.

Dit voordeel is echter geenszins noodzakelijk om succesvol poker te spelen en het vereffent zich snel met het feit dat voor de gratis $50 van PokerStrategy.com geen eigen investering nodig is, terwijl de $1.000 uit eigen zak zou moeten worden betaald en je deze investering voor het opvangen van swings op NL10 goed moet overdenken.

Conclusie

De start met $50 blijkt behoorlijk optimaal. Onder bepaalde omstandigheden zou de inzet van een duidelijk hoger startkapitaal tot een een klein beetje betere uitkomst kunnen leiden. Hoe goed dit ideale geval echter in de realiteit is te reproduceren blijft de vraag.

Ook is het relatieve voordeel bij een 2000% hogere startbankroll met slechts 20% van de uiteindelijke bankroll erg gering. Uiteraard zal het relatieve voordeel bij een kleinere startbankroll dan $1000 – maar groter dan $50 – kleiner dan 20% zijn. Hier heb je dus in de beste situatie een heel klein voordeel door de inzet van duidelijk meer kapitaal.

Het enige - in dit model niet te meten- voordeel van de hogere bankroll ligt in het vermijden van variance en downswings. Stel je tegen dit voordeel de duidelijk grotere noodzakelijke oorspronkelijk investering en het daarmee grotere risico en extra risico’s zoals het verkeerd inschatten van de eigen vaardighedeb of het spelen op te hoge limieten (zie spelerstype B), dan kunnen we ter afsluiting te concluderen dat een startbankroll voor beginnende pokerspelers van $50, of $100 voor de minimalisering van de variance, als optimaal kan worden gezien.

Tot slot nog een keer de winst van alle spelers in een grafiek samengevat.

• Geel: speler A - $50 Startbankroll 20 stacks bankrollmanagement
• Groen: speler B -$1000 Startbankroll 20 stacks bankrollmanagement
• Rood: speler C - $1000 Startbankroll speelt de limiet die hij minstens break-even speelt
• Blauw: speler D - $1000 Startbankroll speelt de limiet waarop hij het meeste geld verdient

Ontwikkeling van de winsten van alle vier de spelers   y-as: Winsten in $ x-as: Tijd